2019-07-28 08:30:31
根据量子力学，一个物理系统所处状态用波函数ψ描述。
波函数ψ并不直接对应物理量的取值，我们需要使用算符才能从波函数中把我们关心的物理量的取值“提取”出来。
算符能够把一个函数映射为另一个函数。即：Aψ=φ
我们可定义算符的本征值问题：Aψ=λψ
这里λ是一个数，上式表示算符A把波函数“映射”为自己了，所以这个方程叫本征方程，本征的德语eigen就是“自己”的意思。λ叫本征值，ψ叫λ对应的本征函数。
如果λ是实数，A就是一个厄米算符。
由于物理量都是实数，在量子力学中我们用厄米算符表示物理量。
现在本征方程可以重新写为：
这里a是实数，我们对随便一个波函数ψ做测量A，力图获取物理量A的取值，假如测量是成功的，我们会得到某个a'，这个a'就是物理量A的取值。
但如果ψ本身不是A的本征函数，我们需要把ψ对本征函数做个展开，即把ψ表示为好多本征函数的叠加：
叠加因子是：
上式中最右侧式子，我已经把结果写成狄拉克记号的形式，可以看出狄拉克记号是非常简洁直观的。
如果ψ不是本征函数的话，我们不能确定每次都能观测到物理量相同的取值。我们只能讲期望，我们期望有多大几率观察到A取a'。
根据玻恩的统计解释，这个几率P是：
一次成功的测量意味着，波函数ψ坍缩为某个a'对应的本征函数：
假如我们做连续的测量，因此现在已经是a'对应的本征函数，再做A测量，波函数不变。
假如我们现在不做A测量，对某个另外的物理量B做测量，假如A，B两个算符对易——[A, B]=0，这意味着存在A、B的共同本征函数：ψab，使得：
假如我们对共同本征函数ψab做连续的A测量，B测量，我们将得到a，b，并且波函数本身并不因测量而发生改变。
上式中第一个箭头表示做了一个A测量，我们获得的是一系列a确定，但b不确定的本征函数的叠加，然后我们做B测量，我们获得的是a，b都确定下来的本征函数，然后我们再做A测量或B测量，我们读取的物理量A、B的取值将都是a和b。
这就是我们平时所说的如果A、B对易，我们对物理量A、B做测量可以得到同时确定值的意思。
假如A、B不对易，就不存在A、B的共同本征函数，只存在A的本征函数ψa，和B的本征函数φb，假设我们对任意波函数ψ作A测量，如果测量成功，波函数就坍缩为某个A的本征函数ψa，然后我们对ψa作B测量，测量成功，意味着ψa坍缩为某个B的本征函数φb。然后我们再作A测量，由于φb不是A的本征函数，φb要坍缩为某个ψa'，这里的a'和a很可能是不一样的，换句话说，我们做的这一系列测量，A的测量值是不确定的。同样的理由，如果我们再接着做B测量的话，b的取值也可能变为不同的b'。
这意味着，假如A、B不对易，就无法同时确定物理量A、B的取值。
比如在量子力学中，位置和动量算符不对易，
这意味着我们无法同时确定粒子的位置，和粒子的动量。可以证明位置的不确定度Δx和动量的不确定度Δp满足不等式：
这类不等式不仅仅存在于位置、动量关系，实际上只要算符A、B不对易，我们在数学上可严格证明如下关系：
证明过程详见樱井的《现代量子力学》。这意味着当A、B不对易时，对任何波函数我们都无法同时确定A、B的取值。
综上所述，不确定关系与我们的测量技术、测量精度无关，它是量子力学理论体系的自然推论。
现在让我们回到那个著名的比喻，“有一个球，先测得它是白色，后测得它是硬的”，这里的颜色和硬度都是比喻，在大多数教科书中颜色被比喻为测量自旋的z分量Sz，而硬度比喻为测量自旋的x分量Sx，由于Sz和Sx是不对易的，不存在Sz和Sx的共同本征函数。
这意味着当我们知道Sz的取值的时候，我们完全不知道关于Sx的取值，当我们知道Sx的取值的时候，我们完全不知道Sz的取值。
换句话说：对球颜色的测量会完全破坏球硬度的信息，而对球硬度的测量又会完全破坏球颜色的信息。这在字面上当然是违背我们的日常经验的，但这些恰恰是量子世界的基本事实。对事实我们不需要怀疑，需要的是找到恰当的语言去描述它们，量子理论就是可以描述量子世界事实的恰当语言。
